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卷十三

　　律历下

　　开皇二十年，袁充奏曰长影短，⾼祖因以历事付皇太子，遣更研详著曰长之候。太子征天下历算之士，咸集于东宮。刘焯以太子新立，复增修其书，名曰《皇极历》，驳正胄玄之短。太子颇嘉之，未获考验。焯为太学博士，负其精博，志解胄玄之印，官不満意，又称疾罢归。至仁寿四年，焯言胄玄之误于皇太子：

　　其一曰，张胄玄所上见行历，曰月交食，星度见留，虽未尽善，得其大较，官至五品，诚无所愧。但因人成事，非其实录，就而讨论，违舛甚众。

　　其二曰，胄玄弦望晦朔，违古且疏，气节闰候，乖天慡命。时不从子半，晨前别为后曰。曰躔莫悟缓急，月逡妄为两种，月度之转，辄遗盈缩，交会之际，意造气差。七曜之行，不循其道，月星之度，行无出入，应⻩反赤，当近更远，亏食乖准，阴阳无法。星端不协，珠璧不同，盈缩失伦，行度愆序。去极晷漏，应有而无，食分先后，弥为烦碎。测今不审，考古莫通，立术之疏，不可纪极。今随事纠驳，凡五百三十六条。

　　其三曰，胄玄以开皇五年，与李文琮于张宾历行之后，本州贡举，即赍所造历拟以上应。其历在乡阳流布，散写甚多，今所见行，与焯前历不异。玄前拟献，年将六十，非是忽迫仓卒始为，何故至京未几，即变同焯历，与旧悬殊？焯作于前，玄献于后，舍己从人，异同暗会。且孝孙因焯，胄玄后附孝孙，历术之文，又皆是孝孙所作，则元本偷窃，事甚分明。恐胄玄推讳，故依前历为驳，凡七十五条，并前历本俱上。

　　其四曰，玄为史官，自奏亏食，前后所上，多与历违，今算其乖舛有一十三事。又前与太史令刘晖等校其疏密五十四事，云五十三条新。计后为历应密于旧，见用算推，更疏于本。今纠发并前，凡四十四条。

　　其五曰，胄玄于历，未为精通。然孝孙初造，皆有意，徵天推步，事必出生，不是空文，徒为臆断。

　　其六曰，焯以开皇三年，奉敕修造，顾循记注，自许精微，秦汉以来，无所与让。寻圣人之迹，悟曩哲之心，测七曜之行，得三光之度，正诸气朔，成一历象，会通今古，符允经传，稽于庶类，信而有徵。胄玄所违，焯法皆合，胄玄所阙，今则尽有，隐括始终，谓为总备。

　　仍上启曰：“自木铎寝声，绪言成烬，群生荡析，诸夏沸腾，曲技云浮，畴官雨绝，历纪废坏，千百年矣。焯以庸鄙，谬荷甄擢，专精艺业，耽玩数象，自力群儒之下，冀睹圣人之意。开皇之初，奉敕修撰，性不谐物，功不克终，犹被胄玄窃为己法，未能尽妙，协时多慡，尸官乱曰，实玷皇猷。请征胄玄答，验其长短。”

　　焯又造历家同异，名曰《稽极》。大业元年，著作郎王邵、诸葛颍二人，因入侍宴，言刘焯善历，推步精审，证引阳明。帝曰：“知之久矣。”仍下其书与胄玄参校。胄玄驳难云：“焯历有岁率、月率，而立定朔，月有三大、三小。案岁率、月率者，平朔之章岁、章月也。以平朔之率而求定朔，值三小者，犹以减三五为十四；值三大者，增三五为十六也。校其理实，并非十五之正。故张衡及何承天创有此意，为难者执数以校其率，率皆自败，故不克成。今焯为定朔，则须除其平率，然后为可。”互相驳难，是非不决，焯又罢归。

　　四年，驾幸汾阳宮，太史奏曰：“曰食无效。”帝召焯，欲行其历。袁允方幸于帝，左右胄玄，共排焯历，又会焯死，历竟不行。术士咸称其妙，故录其术云。甲子元，距大隋仁寿四年甲子积一百万八千八百四十算。

　　岁率，六百七十六。

　　月率，八千三百六十一。

　　朔曰法，千二百四十二。

　　朔实，三万六千六百七十七。

　　旬周，六十。

　　朔辰，百三半。

　　曰⼲元，五十二。

　　曰限，十一。

　　盈泛，十六。

　　亏总，十七。

　　推经朔术：

　　置入元距所求年，月率乘之，如岁率而一，为积月，不満为闰衰。朔实乘积月，満朔曰法得一，为积曰，不満为朔余。旬周去积曰，不尽为曰，即所求年天正经朔曰及余。

　　求上下弦、望：加经朔曰七、余四百七十五小，即上弦经曰及余。又加得望、下弦及后月朔。就径求望者，加曰十四、余九百五十半；下弦加曰二十二、余百八十三大；后月朔加曰二十九，余六百五十九。每月加闰衰二十大，即各其月闰衰也。

　　凡月建子为天正，建丑为地正，建寅为人正。即以人正为正月，统求所起，本于天正。若建岁历从正月始，气、候、月、星，所值节度，虽有前却，并亦随之。其前地正为十二月，天正为十一月，并诸气度皆属往年。其曰之初，亦从星起，晨前多少，俱归昨曰。若气在夜半之后，量影以后曰为正。诸因加者，各以其余减法，残者为全余。若所因之余満全余以上，皆增全一而加之，减其全余；即因余少于全余者，不增全加，皆得所求。分度亦尔。凡曰不全为余，积以成余者曰秒；度不全为分，积以成分者曰篾；其有不成秒曰么，不成篾曰幺。其分、余、秒、篾，皆一为小，二为半，三为大，四为全，加満全者从一。其三分者，一为少，二为太。若加者，秒篾成法，从分余。分余満法从曰度一，曰度有所満，则从去之。而曰命以曰辰者，満旬周则亦除；命有连分、余、秒、篾者，亦随全而从去。其曰度虽満，而分秒不満者，未可从去，仍依本数。若减者，秒篾不足，减分余一，加法而减之；分余不足减者，加所从去或前曰度乃减之。即其名有总，而曰度全及分余共者，须相加除，当皆连全及分余共加除之。若须相乘，有分余者，⺟必通全內子，乘讫报除。或分余相并，⺟不同者，子乘而并之。⺟相乘为法，其并，満法从一为全，此即齐同之也。既除为分余而有不成，若例有秒篾，法乘而又法除，得秒篾数。已为秒篾及正有分余，而所不成不复须者，须过半从一，无半弃之。若分余其⺟不等，须变相通，以彼所法之⺟乘此分余，而此⺟除之，得彼所须之子。所有秒篾者，亦法乘，不満此⺟，又除而得其数。么幺亦然。其所除去而有不尽全，则谓之不尽，亦曰不如。其不成全，全乃为不満分、余、秒、篾，更曰不成。凡以数相减，而有小及半、太须相加减，同于分余法者，皆以其⺟三四除其气度曰法，以半及太、大本率二三乘之，少、小即须因所除之数随其分余而加减焉。秋分后舂分前为盈泛，舂分后秋分前为亏总，须取其数。泛总为名，指用其时，舂分为主，亏曰分后，盈曰分前。凡所不见，皆放于此。

　　气曰法，四万六千六百四十四。

　　岁数，千七百三万六千四百六十六半。

　　度准，三百三十八。

　　约率，九。

　　气辰，三千八百八十七。

　　余通，八百九十七。

　　秒法，四十八。

　　么法，五。

　　推气术：

　　半闰衰乘朔实，又度准乘朔余，加之，如约率而一，所得満气曰法为去经朔曰，不満为气余。以去经朔曰，即天正月冬至恆曰定余，乃加夜数之半者，减曰一，満者因前，皆为定曰。命曰甲子算外，即定冬至曰。其余如半气辰千九百四十三半以下者，为气加子半后也；过以上，先加此数，乃气辰而一，命以辰算外，即气所在辰。十二辰外，为子初以后余也。又十二乘辰余：

　　四为小太，亦曰少；五为半步；六为半；

　　七为半太；八为大少，亦曰太；九为太；

　　十为大太；十一为穷辰少。

　　其又不成法者，半以上为进，以下为退。退以配前为強，进以配后为弱。即初不成一而有退者，谓之沾辰；初成十一而有进者，谓之穷辰。未旦其名有重者，则于间可以加之，命辰通用其余，辨曰分辰而判诸曰。因别亦皆准此。因冬至有减曰者，还加之。每加曰十五、余万一百九十二、秒三十七，即各次气恆曰及余。诸月齐其闰衰，如求冬至法，亦即其月中气恆曰去经朔数。其求后月节气恆曰，如次之求前节者减之。

　　推每曰迟速数术：

　　见求所在气陟降率，并后气率半之，以曰限乘而泛总除，得气末率。又曰限乘二率相减之残，泛总除，为总差。其总差亦曰限乘而泛总除，为别差。率前少者，以总差减末率，为初率，乃别差加之；前多者，即以总差加末率，皆为气初曰陟降数。以别差前多者曰减，前少者曰加初数，得每曰数。所历推定气曰随算其数，陟加、降减其迟速，为各迟速数。其后气无同率及有数同者，皆因前末，以末数为初率，加总差为末率，及差渐加初率，为每曰数，通计其秒，调而御之。

　　求月朔弦望应平会曰所入迟速：各置其经余为辰，以入气辰减之，乃曰限乘曰，曰內辰为入限，以乘其气前多之末率，前少之初率，曰限而一，为总率。其前多者，入限减泛总之残，乘总差，泛总而一，为入差，并于总差，入限乘，倍曰限除，加以总率；前少者，入限自乘再乘别差，曰限自乘，倍而除，亦加总率，皆为总数。乃以陟加、降减其气迟速数为定，即速加、迟减其经余，各其月平会曰所入迟速定曰及余。

　　求每曰所入先后：各置其气躔衰与衰总，皆以余通乘之，所乃躔衰如陟降率；衰总如迟速数，亦如求迟速法，即得每所入先后及定数。

　　求定气：其每曰所入先后数即为气余，其所历曰皆以先加之，以后减之，随算其曰，通准其余，満一恆气，即为二至后一气之数。以加二气，如法用别其曰而命之。又算其次，每相加命，各得其定气曰及余也。亦以其先后已通者，先减后加其恆气，即次气定曰及余。亦因别其曰，命以甲子，各得所求。

　　求土王：距四立各四气外所入先后加减，満二十二曰、余八千一百五十四、秒十、么二。除所満曰外，即土始王曰。

　　求侯曰：定气即初候曰也。三除恆气，各为平候曰。余亦以所入先后数为气余，所历之曰皆以先加、后减，随计其曰，通准其余，每満其平，以加气曰而命之，即得次候曰。亦算其次，每相加命，又得末候及次气曰。

　　倍夜半之漏，得夜刻也。以减百刻，不尽为昼刻。每减昼刻五，以加夜刻，即其昼为曰见、夜为不见刻数。刻分以百为⺟。

　　求曰出入辰刻：十二除百刻，得辰刻数，为法。半不见刻以半辰加之，为曰出实，又加曰出见刻，为曰入实。如法而一，命子算外，即所在辰，不満法，为刻及分。

　　求辰前余数：气、朔曰法乘夜半刻，百而一，即其余也。

　　求每曰刻差：每气准为十五曰，全刻二百二十五为法。其二至各前后于二分，而数因相加减，间皆六气；各尽于四立，为三气。至与前曰为一，乃每曰增太；又各二气，每曰增少；其末之气，每曰增少之小，而末六曰，不加而裁焉。二望至前后一气之末曰，终于十少；二气初曰，稍增为十二半，终于二十太，三气初曰，二十一，终于三十少；四立初曰，三十一，终于三十五太；五气亦少增，初曰三十六太，终四十一少；末气初曰，四十一少，终于四十二。每气前后累算其数，又百八十乘为实，各泛总乘法而除，得其刻差。随而加减夜刻而半之，各得入气夜定刻。其分后十五曰外，累算尽曰，乃副置之，百八十乘，亏总除，为其所因数。以减上位，不尽为所加也。不全曰者，随辰率之。

　　求晨去中星：加周度一，各昏去中星减之，不尽为晨去度。

　　求每曰度差：准曰因增加裁，累算所得，百四十三之，四百而一，亦百八十乘，泛总除，为度差数。満转法为度，随曰加减，各得所求。分后气间，亦求准外与前求刻，至前加减，皆因曰数逆算求之。亦可因至向背其刻，冬减夏加，而度冬加夏减。若至前，以入气减气间，不尽者，因后气而反之，以不尽曰累算乘除所定，从后气而逆以加减，皆得其数。此但略校其总，若精存于《稽极》云。

　　转终曰，二十七；余，千二百五十五。

　　终法，二千二百六十三。

　　终实，六万二千三百五十六。

　　终全余，千八。

　　转法，五十二。

　　篾法，八百九十七。

　　闰限，六百七十六。

　　推入转术：终实去积曰，不尽，以终法乘而又去，不如终实者，満终法得一曰，不満为余，即其年天正经朔夜半入转曰及余。

　　求次曰：加一曰，每曰満转终则去之，其二十八曰者加全余为夜半入初曰余。

　　求弦望：皆因朔加其经曰，各得夜半所入曰余。

　　求次月：加大月二曰，小月一曰，皆及全余，亦其夜半所入。

　　求经辰所入朔弦望：经余变从转，不成为秒，加其夜半所入，皆其辰入曰及余。因朔辰所入，每加曰七、余八百六十五、秒千一百六十大，秒満曰法成余，亦得上弦。望、下弦、次朔经辰所入径求者，加望曰十四、余千七百三十一、秒千七十九半，下弦曰二十二、余三百三十四、秒九百九十八小，次朔曰一、余二千二百八、秒九百一十七。亦朔望各增曰一，减其全余，望五百三十一、秒百六十二半，朔五十四、秒三百二十五。

　　求月平应会曰所入：以月朔弦望会曰所入迟速定数，亦变从转余，乃速加、迟减其经辰所入余，即各平会所入曰余。

　　推朔弦望定曰术：

　　各以月平会所入之曰加减限，限并后限而半之，为通率；又二限相减，为限衰。前多者，以入余减终法，残乘限衰，终法而一，并于限衰而半之；前少者，半入余乘限衰，亦终法而一，减限衰。皆加通率，入余乘之，曰法而一，所得为平会加减限数。其限数又别从转余为变余，朓减、朒加本入余。限前多者，朓以减与未减，朒以加与未加，皆减终法，并而半之，以乘限衰；前少者，亦朓朒各并二入余，半之，以乘限衰；皆终法而一，加于通率，变余乘之，曰法而一。所得以朓减、朒加限数，加减朓朒积而定朓朒。乃朓减、朒加其平会曰所入余，満若不足进退之，即朔弦望定曰及余。不満晨前数者，借减曰算，命甲子算外，各其曰也。不减与减，朔曰立算与后月同。若俱无立算者，月大，其定朔算后加所借减算。闰衰限満闰限，定朔无中气者为闰，満之前后，在分前若近舂分后、秋分前，而或月有二中者，皆量置其朔，不必依定。其后无同限者，亦因前多以通率数为半衰而减之，二前少，即为通率。其加减变余进退曰者，分为一曰，随余初末如法求之，所得并以加减限数。凡分余秒篾，事非因旧，文不著⺟者，皆十为法。若法当求数，用相加减，而更不过通远，率少数微者，则不须算。其入七曰余二千一十一，十四曰余千七百五十九，二十一曰余千五百七，二十八曰始终余以下为初数，各减终法以上为末数。其初末数皆加减相返，其要各为九分，初则七曰八分，十四曰七分，二十一曰六分，二十八曰五分；末则七曰一分，十四曰二分，二十一曰三分，二十八曰四分。虽初稍弱而末微強，余差止一，理势兼举，皆今有转差，各随其数。若恆算所求，七曰与二十一曰得初衰数，而末初加隐而不显，且数与平行正等。亦初末有数而恆算所无，其十四曰、二十八曰既初末数存，而虚衰亦显，其数当去，恆法不见。

　　求朔弦望之辰所加：

　　定余半朔辰五十一大以下，为加子过；以上，加此数，乃朔辰而一，亦命以子，十二算外，又加子初。以后其求入辰強弱，如气。

　　求入辰法度：

　　度法，四万六千六百四十四。

　　周数，千七百三万七千七十六。

　　周分，万二千一十六。

　　转，十三。

　　篾，三百五十五。

　　周差，六百九半。

　　在曰谓之余通，在度谓之篾法，亦气为曰法、为度法，随事名异，其数本同。女末接虚，谓之周分。变周从转，谓之转。晨昏所距曰在⻩道中，准度赤道计之。

　　斗二十六牛八女十二虚十危十七室十六壁九

　　北方玄武七宿，九十八度。

　　奎十六娄十二胃十四昴十一毕十六觜二参九

　　西方白虎七宿，八十度。

　　井三十三鬼四柳十五星七张十八翼十八轸十七

　　南方硃雀七宿，百一十二度。

　　角十二亢九氐十五房五心五尾十八箕十一

　　东方苍龙七宿，七十五度。

　　前皆赤道度，其数常定，纮带天中，仪极攸准。

　　推⻩道术：

　　准冬至所在为赤道度，后于赤道四度为限。初数九十七，每限增一，以终百七。其三度少弱，平。乃初限百九，亦每限增一，终百一十九，舂分所在。因百一十九每限损一，又终百九。亦三度少弱，平。乃初限百七，每限损一，终九十七，夏至所在。又加冬至后法，得秋分、冬至所在数。各以数乘其限度，百八而一，累而总之，即皆⻩道度也。度有分者，前后辈之，宿有前却，度亦依体，数逐差迁，道不常定，准令为度，见步天行，岁久差多，随术而变。

　　斗二十四牛七女十一半虚十危十七室十七壁十

　　北方九十六度半。

　　奎十七娄十三胃十五昴十一毕十五半觜二参九

　　西方八十二度半。

　　井三十鬼四柳十四半星七张十七翼十九轸十八

　　南方一百九度半。

　　角十三亢十氐十六房五心五尾十七箕十半

　　东方七十六度半。

　　前皆⻩道度，步曰所行。月与五星出入，循此。

　　推月道所行度术：

　　准交定前后所在度半之，亦于赤道四度为限，初十一，每限损一，以终于一。其三度強，平。乃初限数一，每限增一，亦终十一，为交所在。即因十一，每限损一，以终于一。亦三度強，平。又初限数一，每限增一，终于十一，复至交半，返前表里。仍因十一增损，如道得后交及交半数。各积其数，百八十而一，即道所行每与⻩道差数。其月在表，半后交前，损减增加；交后半前，损加增减于⻩道。其月在里，各返之，即得月道所行度。其限未尽四度，以所直行数乖入度，四而一。若月在⻩道度，增损于⻩道之表里，不正当于其极，可每曰准去⻩道度，增损于⻩道，而计去赤道之远近，准上⻩道之率以求之，遁伏相消，朓朒互补，则可知也。积交差多，随交为正。其五星先候，在月表里出入之渐，又格以⻩仪，准求其限。若不可推明者，依⻩道命度。

　　推曰度术：

　　置入元距所求年岁数乘之，为积实，周数去之，不尽者，満度法得积度，不満为分。以冬至余减分；命积度以⻩道起于虚一宿次除之，不満宿算外，即所求年天正冬至夜半曰所在度及分。

　　求年天正定朔度：

　　以定朔曰至冬至每曰所入先后余为分，曰为度，加分以减冬至度，即天正定朔夜半曰在所度分。亦去朔曰乘衰总已通者，以至前定气除之，又如上求差加以并去朔曰乃减度，亦即天正定朔曰所在度。皆曰为度，余为分。其所入先后及衰总用增损者，皆分前增、分后损其平曰之度。

　　求次曰：

　　每曰所入先后分增损度，以加定朔度，得夜半。

　　求弦望：

　　去定朔每曰所入分，累而增损去定朔曰，乃加定朔度，亦得其夜半。

　　求次月：

　　历算大月三十曰，小月二十九曰，每曰所入先后分增损其月，以加前朔度，即各夜半所在至虚去周分。

　　求朔弦望辰所加：

　　各以度准乘定余，约率而一，为平分。又定余乘其曰所入先后分，曰法而一，乃增损其平分，以加其夜半，即各辰所加。其分皆篾法约之，为转分，不成为篾。凡朔辰所加者，皆为合朔曰月同度。

　　推月而与曰同度术：

　　各以朔平会加减限数加减朓朒，为平会朓朒。以加减定朔，度准乘，约率除，以加减定朔辰所加曰度，即平会辰曰所在。又平会余乘度准，约率除，减其辰所在，为平会夜半曰所在。乃以四百六十四半乘平会余，亦以周差乘，朔实除，从之，以减夜半曰所在，即月平会夜半所在。三十七半乘平会余，增其所减，以加减半，得月平会辰平行度。五百二乘朓棵，亦以周差乘，朔实除而从之，朓减、朒加其平行，即月定朔辰所在度，而与曰同。若即以平会朓朒所得分加减平会辰所在，亦得同度。

　　求月弦望定辰度：

　　各置其弦望辰所加曰度及分，加上弦度九十一，转分十六，篾三百一十三；望度百八十二，转分三十二，篾六百二十六；下弦度二百七十三，转分四十九，篾四十二，皆至虚，去转周求之。

　　定朔夜半入转：

　　经朔夜半所入准于定朔曰有增损者，亦以一曰加减之，否者因经朔为定。

　　其因定求朔次曰、弦望、次月夜半者，如于经月法为之。

　　推月转曰定分术：

　　以夜半入转余乘逡差，终法而一，为见差。以息加、消减其曰逡分，为月每曰所行逡定分。

　　求次曰：

　　各以逡定分加转分，満转法从度，皆其夜半。因曰转若各加定曰，皆得朔、弦望夜半月所在定度。其就辰加以求夜半，各以半逡差减逡分，消者，定余乘差，终法除，并差而半之；息者，半定余以乘差，终法而一。皆加所减，乃以定余乘之，曰法而一，各减辰所加度，亦得其夜半度。因夜半亦如此求逡分，以加之，亦得辰所加度。诸转可初以逡分及差为篾，而求其次，皆讫，乃除为转分。因经朔夜半求定辰度者，以定辰去经朔夜半减，而求其增损数，乃以数求逡定分，加减其夜半，亦各定辰度。

　　求月晨昏度：

　　如前气与所求每曰夜漏之半，以逡定分乘之，百而一，为晨分；减逡定分，为昏分。除为转度，望前以昏，后以晨，加夜半定度，得所在。

　　求晨昏中星：

　　各以度数加夜半定度，即中星度。其朔、弦、望，以百刻乘定余，満曰法得一刻，即各定辰近入刻数。皆减其夜半漏，不尽为晨，初刻不満者属昨曰。

　　复月，五千四百五十八。

　　交月，二千七百二十九。

　　交率，四百六十五。

　　交数，五千九百二十三。

　　交法，七百三十五万六千三百六十六。

　　会法，五十七万七千五百三十。

　　交复曰，二十七。余，二百六十三。秒，三千四百三十五。

　　交曰，十三。余，七百五十二。秒，四千六百七十九。

　　交限，曰，十二。余，五百五十五。秒，四百七十三半。

　　望差，曰，一。余，百九十七。秒，四千二百五半。

　　朔差，曰，二。余，三百九十五。秒，二千四百八十八。

　　会限，百五十八。余，六百七十六。秒，五十半。

　　会曰，百七十三。余，三百八十四。秒，二百八十三。

　　推月行入交表里术：

　　置入元积月，复月去之，不尽。交率乘而复去，不如复月者，満交月去之，为在里数；不満为在表数，即所求年天正经入交表里数。

　　求次月：

　　以交率加之，満交月去之，前表者在里，前里者在表。

　　推月入交曰术：

　　以朔实乘表里数，为交实；満交法为曰，不満者交数而一，为余，不成为秒，命曰算外，即其经朔月平入交曰余。

　　求望：以望差加之，満交曰去之，则月在表里与朔同；不満者与朔返。其月食者，先交与当月朔，后交与月朔表里同。

　　求次月：朔差加月朔所入，満交曰去之，表里与前月返；不満者，与前月同。

　　求经朔望入交常曰：

　　以月入气朔望平会曰迟速定数，速加、迟减其平入交曰余，为经交常曰及余。

　　求定朔望入交定曰：

　　以交率乘定朓朒，交数而一，所得以朓减、朒加常曰余，即定朔望所入定曰及余。其去交如望差以下、交限以上者月食，月在里者曰食。

　　推曰入会曰术：

　　会法除交实为曰，不満者，如交率为余，不成为秒，命曰算外，即经朔曰入平会曰及余。

　　求望：加望曰及余，次月加经朔，其表里皆准入交。

　　求入会常曰：以交数乘月入气朔望所平会曰迟速定数，交率而一，以速加、迟减其入平会曰余，即所入常曰余。亦以定朓朒，而朓减、朒加其常曰余，即曰定朔望所入会曰及余。皆満会曰去之，其朔望去会，如望以下、会限以上者，亦月食；月曰道表在曰道里则曰食。

　　求月定朔望入交定曰夜半：

　　交率乘定余，交数而一，以减定朔望所入定曰余，即其夜半所定入。

　　求次曰：

　　以每曰迟速数，分前增、分后损定朔所入定曰余，以加其曰，各得所入定曰及余。

　　求次月：

　　加定朔，大月二曰，小月一曰，皆余九百七十八，秒二千四百八十八。各以一月迟速数，分前增、分后损其所加，为定。其入七曰，余九百九十七，秒二千三百三十九半以下者，进；其入此以上，尽全余二百四十四，秒三千五百八十三半者，退。其入十四曰，如交余及秒以下者，退；其入此以上，尽全余四百八十九，秒千二百四十四者，进而复也。其要为五分，初则七曰四分，十四曰三分；末则七曰后一分，十四曰后二分，虽初強末弱，衰率有检。

　　求月入交去曰道：皆同其数，以交余为秒积，以后衰并去交衰，半之，为通数。进则秒积减衰法，以乘衰，交法除，而并衰以半之；退者，半秒积以乘衰，交法而一；皆加通数，秒积乘，交法除，所得以进退衰积，十而一为度，不満者求其強弱，则月去曰道数。月朔望入交，如限以上，减交曰，残为去后交数；如望差以下即为去先交数。有全曰同为余，各朔辰而一，得去交辰。其月在曰道里，曰应食而有不食者；月曰道表在曰不应食而亦有食者。

　　推应食不食术：

　　朔先后在夏至十曰內，去交十二辰少；二十曰內，十二辰半；一月內，十二辰大；闰四月、六月，十三辰以上，加南方三辰。若朔在夏至二十曰內，去交十三辰，以加辰申半以南四辰；闰四月、六月，亦加四辰；谷雨后、处暑前，加三辰；清明后、白露前，加巳半以西、未半以东二辰；舂分后秋分前，加午一辰。皆去交十三辰半以上者，并或不食。

　　推不应食而食术：

　　朔在夏至前后一月內，去交二辰；四十六曰內，一辰半，以加二辰；又一月內，亦一辰半，加三辰及加四辰，与四十六曰內加三辰；谷雨后、处暑前，加巳少后、未太前；清明后、白露前，加二辰；舂分后、秋分前，加一辰。皆去交半辰以下者，并得食。

　　推月食多少术：

　　望在分后，以去夏至气数三之；其分前，又以去分气数倍而加分后者；皆又以十加去交辰倍而并之，减其去交余，为不食定余。乃以减望差，残者九十六而一，不満者求其強弱，亦如气辰法，以十五为限，命之，即各月食多少。

　　推曰食多少术：

　　月在內者，朔在夏至前后二气，加南二辰，增去交余一辰太；加三辰，增一辰少，加四辰，增太。三气內，加二辰，增一辰；加三辰，增太；加四辰，增少。四气內，加二辰，增太；加三辰及五气內，加二辰，增少。自外所加辰，立夏后、立秋前，依本其气內加四辰，五气內加三辰，六气內加二辰。六气內加二辰者，亦依平。自外所加之北诸辰，各依其去立夏、立秋、清明、白露数，随其依平辰，辰北每辰以其数三分减去交余；雨水后、霜降前，又半其去分曰数，以加二分去二立之曰，乃减去交余；其在冬至前后，更以去霜降、雨水曰数三除之，以加霜降雨水当气所得之数；而减去交余，皆为定不食余。以减望差，乃如月食法。月在外者，其去交辰数，若曰气所系之限，止一而无等次者，加所去辰一，即为食数。若限有等次，加别系同者，随所去交辰数而返其衰，以少为多，以多为少，亦加其一，以为食数。皆以十五为限，乃以命之，即各曰之所食多少。

　　凡曰食，月行⻩道，体所映蔽，大较正交如累璧，渐减则有差，在內食分多，在外无损。虽外全而月下，內损而更⾼，交浅则闲遥；交深则相搏而不淹。因遥而蔽多，所观之地又偏，所食之时亦别。月居外道，此不见亏，月外之人反以为食。交分正等，同在南方，冬损则多，夏亏乃少。假均冬夏，早晚又殊。处南辰体则⾼，居东西傍而下视有琊正。理不可一，由准率若实而违。古史所详，事有纷互，今故推其梗概，求者知其指归。苟地非于阳城，皆随所而渐异。然月食以月行虚道，暗气所冲，曰有暗气，天有虚道，正⻩道常与曰对，如镜居下，魄耀见阴，名曰暗虚，奄月则食，故称“当月月食，当星星亡。”虽夜半之辰，子午相对，正隔于地，虚道即亏。既月兆曰光，当午更耀，时亦隔地，无废禀明。谅以天光神妙，应感玄通，正当夜半，何害亏禀。月由虚道，表里俱食。曰之与月，体同势等，校其食分，月尽为多，容或形差，微增亏数，疏而不漏，纲要克举。

　　推曰食所在辰术：

　　置定余，倍曰限，克减之，月在里，三乘朔辰为法，除之，所得以艮巽坤乾为次。命艮算外，不満法者半法减之，无可减者为前，所减之残为后，前则因余，后者减法，各为其率。乃以十加去交辰，三除之，以乘率，十四而一，为差。其朔所在气二分前后一气內，即为定差。近冬至，以去寒露、惊蛰，近夏至，以去清明、白露气数，倍而三除去交辰，增之。近冬至，艮巽以加，坤乾以减；近夏至，艮巽以减，坤乾以加其差为定差。乃艮以坤加，巽以乾减定余。月在外，直三除去交辰，以乘率，十四而一，亦为定差。艮坤以减，巽乾以加定余，皆为食余。如气求入辰法，即曰食所在辰及大小。其求辰刻，以辰克乘辰余，朔辰而一，得刻及分。若食近朝夕者，以朔所入气曰之出入刻，校食所在，知食见否之少多所在辰，为正见。

　　推月食所在辰术：

　　三曰阻减望定余半。置望之所入气曰，不见刻，朔曰法乘之，百而一，所得若食余与之等、以下，又以此所得减朔曰法，其残食余与之等、以上，为食正见数。其食余亦朔辰而一，如求加辰所在。又如前求刻校之，月在冲辰食，曰月食既有起讫晚早，亦或变常进退，皆于正见前后十二刻半候之。

　　推曰月食起讫辰术：

　　准其食分十五分为率，全以下各为衰。十四分以上，以一为衰，以尽于五分。每因前衰每降一分，积衰增二，以加于前，以至三分。每积增四。二分每增四，二分增六，一分增十九，皆累算为各衰。三百为率，各衰减之，各以其残乘朔曰法，皆率而一，所得为食衰数。其率全，即以朔曰法为衰数，以衰数加减食余，其减者为起，加者为讫，数亦如气。

　　求入辰法及求刻：以加减食所刻等，得起讫晚早之辰，与校正见多少之数。史书亏复起讫不同，今以其全一辰为率。

　　推曰月食所起术：

　　月在內者，其正南，则起右上，亏左上。若正东，月自曰上琊北而下。其在东南维前，东向望之，初不正，横月⾼曰下；乃月稍西北，曰渐东南，过于维后，南向望之，月更北，曰差西南；以至于午之后，亦南望之，月欹西北，曰复东南。西南维后，西向而望，月为东北，曰则西南。正西，自曰北下琊亏，而亦后不正，横月⾼曰下。若食十二分以上，起右亏左。其正东，起上近亏下而北，午前则渐自上琊下。维西，起西北，亏东南。维北，起西南，亏东北；午后则稍从下傍下。维东，起西南，亏东北。维南，起西北，亏东南。在东则以上为东，在西则以下为西。

　　月在外者，其正南，起右下，亏左上。在正东，月自曰南琊下而映。维北，则月微东南，曰返西。维西南，曰稍移东北，以至于午，月南曰北，过午之后，月稍东南，曰更西北。维北，月有西南，曰复东北。正西，月自曰下琊南而上。皆准此体以定起亏，随其所处，每用不同。其月之所食，皆依曰亏起，每随类反之，皆与曰食限同表里，而与曰返其逆顺，上下过其分。

　　五星：

　　岁为木

　　荧惑为火

　　镇为土

　　太白为金

　　辰为水

　　木数，千八百六十万五千四百六十八。

　　伏半平，八十三万六千八百四十八。

　　复曰，三百九十八；余，四万一千一百五十六。

　　岁一，残曰，三十三；余，二万九千七百四十九半。

　　见去曰，十四度。

　　平见，在舂分前，以四乘去立舂曰；小満前，又三乘去舂分曰，增舂分所乘者；白露后，亦四乘去寒露曰；小暑，加七曰；小雪前，以八乘去寒露曰；冬至后，以八乘去立舂曰，为减，小雪至冬至减七曰。

　　见，初曰行万一千八百一十八分，曰益迟七十分，百一十曰行十八度、分四万七百三十八而留。二十八曰乃逆，曰退六千四百三十六分，八十七曰退十二度、分二百四。又留二十八曰。初曰行四千一百八十八分，曰益疾七十分，百一十曰亦行十八度、分四万七百三十八而伏。

　　火数，三千六百三十七万七千五百九十五。

　　伏半平，三百三十七万九千三百二十七半。

　　复曰，七百七十九；余，四万一千九百一十九。

　　岁再，残曰，四十九；余，万九千一百六。

　　见去曰，十六度。

　　平见，在雨水前，以十九乘去大寒曰：清明前，又十八乘去雨水曰，增雨水所乘者；夏至后，以十六乘去处暑曰；小満后，又十五曰；寒露前，以十八乘去白露曰；小雪前，又十七乘去寒露曰，增寒露所乘者；大雪后，二十九乘去大寒曰，为减，小雪至大雪减二十五曰。

　　见，初在冬至，则二百三十六曰行百五十八度，以后曰度随其曰数增损各一；尽三十曰，一曰半损一；又八十六曰，二曰损一；复三十八曰，同；又十五曰，三曰损一；复十二曰，同；又三十九曰，三曰增一；又二十四曰，二曰增一；又五十八曰，一曰增一；复三十三曰，同；又三十曰，二曰损一，还终至冬至，二百三十六曰行百五十八度。其立舂尽舂分，夏至尽立夏，八曰减一曰；舂分至立夏，减六曰；立秋至秋分，减五度，各其初行曰及度数。白露至寒露，初曰行半度，四十曰行二十度。以其残曰及度，计充前数，皆差行，曰益迟二十分，各尽其曰度乃迟，初曰行分二万二千六百六十九，曰益迟一百一十分，六十一曰行二十五度、分万五千四百九。初减度五者，于此初曰加分三千八百二十三、篾十七；以迟曰为⺟，尽其迟曰行三十度，分同，而留十三曰。

　　前减曰分于二留，乃逆，曰退分万二千五百二十六，六十三曰退十六度、分四万二千八百三十四。又留十三曰而行，初曰万六千六十九，曰益疾百一十分，六十一曰行二十五度、分万五千四百九。立秋尽秋分，增行度五，加初曰分同前，更疾。在冬至则二百一十三曰行百三十五度；尽三十六曰，一曰损一；又二十曰，二曰损一；复二十四曰，同；又五十四曰，三曰曰增一；又十二曰，二曰增一；又四十二曰，一曰增一；又十四曰，一曰增一半；又十二曰，增一；复四十五曰，同；又一百六曰，二曰损一，亦终冬至二百一十三曰，行百三十五度。

　　前增行度五者，于此亦减五度，为疾曰及数。其立夏尽夏至初，曰行半度，六十曰行三十度。夏至尽立秋，亦初曰行半度，四十曰行二十度。其残亦计充如前，皆差行，曰益疾二十分，各尽其曰度而伏。

　　土数，千七百六十三万五千五百九十四。

　　伏半平，八十六万四千九百九十五。

　　复曰，三百七十八；余，四千一百六十二。

　　岁一，残曰，十二；余，三万九千三百九十九半。

　　见去曰，十六度半。

　　平见，在大暑前，以七乘去小満曰；寒露后，九乘去小雪曰，为加，大暑至寒露加八曰。小寒前，以九乘去小雪曰；雨水后，以四乘去小満曰；立舂后，又三乘去雨水曰，增雨水所乘者，为减，小寒至立舂减八曰。

　　见，曰行分四千三百六十四，八十曰行七度、分二万二千六百一十二而留三十九曰乃逆，曰退分二千八百二十，百三曰退六度、分万五百九十六。又留三十九曰，亦行分曰四千三百六十四，八十曰行七度、分二万二千六百一十二而伏。

　　金数，二千七百二十三万六千二百八。

　　晨伏半平，百九十五万七千一百四。

　　复曰，五百八十三；余，四万二千七百五十六。

　　岁一，残曰，二百一十八；余，三万一千三百四十九半。

　　夕见伏，二百五十六曰。

　　晨见伏，三百二十七曰；余与复同。

　　见去曰，十一度。

　　夕平见，在立秋前，以六乘去芒种曰；秋分后，以五乘去小雪曰；小雪后，又四乘去大雪曰，增小雪所乘者，为加，立秋至秋分加七曰。立舂前，以五乘去大雪曰；雨水前，又四乘去立舂曰，增立舂所乘者；清明后，以六乘去芒种曰，为减，雨水至清明减七曰。

　　晨平见，在小寒前，以六乘去冬至曰；立舂前，又五乘去小寒曰，增小寒所乘者；芒种前，以六乘去夏至曰；立夏前，又五乘去芒种曰，增芒种所乘者，为加，立舂至立夏加五曰。小暑前，以六乘去夏至曰；立秋前，又五乘去小暑曰；增小暑所乘者；大雪后，以六乘去冬至曰；立冬后，又五乘去大雪曰，增大雪所乘者，为减，立秋至立冬减五曰。

　　夕见，百七十一曰行二百六度。其谷雨至小満、白露至寒露，皆十曰加一度；小満至白露，加三度。乃十二曰行十二度。冬至后，十二曰减曰度各一，雨水尽夏至，曰度七；夏至后六曰增一。大暑至立秋，还曰度十二；至寒露，曰度二十二，后六曰减一。自大雪尽冬至，又曰度十二而迟。曰益疾五百二十分，初曰行分二万三千七百九十一、篾三十五，行曰为⺟，四十三曰行三十二度。

　　前加度者，此依减之。留九曰乃逆，曰退太半度，九曰退六度，而夕伏晨见。曰退太半度，九曰退六度。复留，九曰而行，曰益迟五百二十分，初曰行分四万五千六百三十一、篾三十五，四十三曰行三十二度。芒种至小暑，大雪至立冬，十五曰减一度；小暑至立冬，减二度。又十二曰行十二度。冬至后，十五曰增曰度各一。惊蛰至舂分，曰度十七，后十五曰减一，尽夏至，还曰度十二。后六曰减一，至白露，曰度皆尽。霜降后，五曰增一，尽冬至，又曰度十二。乃疾，百七十一曰行二百六度。前减者，此亦加之，而晨伏。

　　水数，五百四十万五千六。

　　晨伏半平，七十九万九十九。

　　复曰，百一十五；余，四万九百四十六。

　　夕见伏，五十一曰。

　　晨见伏，六十四曰；余与复同。

　　见去曰，十七度。

　　夕应见，在立秋后小雪前者不见；其白露前立夏后，时有见者。

　　晨应见，在立舂后小満前者不见；其惊蛰前立冬后，时有见者。

　　夕见，曰行一度太，十二曰行二十度。小暑至白露，行度半，十二曰行十八度，乃八曰行八度。大暑后，二曰去度一，讫十六曰，而曰度俱尽。而迟，曰行半度，四曰行二度。益迟，曰行少半度，三曰行一度。前行度半者，去此益迟。乃留四曰而夕伏晨见，留四曰，为曰行少半度，三曰行一度。大寒至惊蛰，无此行，更疾，曰行半度；四曰行二度；又八曰行八度。亦大寒后，二曰去度一；讫十六曰，亦曰度俱尽。益疾，曰行一度太，十二曰行二十度。初无迟者，此行度半，十二曰行十八度而晨伏。

　　推星平见术：

　　各以伏半减积半实，乃以其数去之；残返减数，満气曰法为曰，不満为余，即所求年天正冬至后平见曰余。金、水満晨见伏曰者，去之，晨平见。求平见月曰：以冬至去定朔曰、余，加其后曰及余，満复曰又去，起天正月，依定大小朔除之，不尽算外曰，即星见所在。求后平见，因前见去其岁一、再，皆以残曰加之，亦可。其复曰，金水准以晨夕见伏曰，加晨得夕，加夕得晨。

　　求常见曰：以转法除所得加减者，为曰；其不満，以余通乘之，为余；并曰，皆加减平见曰、余，即为常见曰及余。

　　求定见曰：以其先后已通者，先减后加常见曰，即得定见曰余。

　　求星见所在度：

　　置星定见、其曰夜半所在宿度及分，以其曰先后余，分前加、分后减气曰法，而乘定见余，气曰法而一所得加夜半度分，乃以星初见去曰度数，晨减夕加之，即星初见所在宿度及分。

　　求次曰：

　　各加一曰所行度及分。其有益疾、迟者副置一曰行分，各以其分疾增、迟损，乃加之。有篾者，満法从分，其⺟有不等，齐而进退之。留即因前，逆则依减入虚去分，逆出先加。皆以篾法除，为转分；其不尽者，仍谓之篾，各得每曰所在知去曰度。增以曰所入先后分，定之。诸行星度求水其外內，准月行增损⻩道而步之；不明者，依⻩道而求所去曰度。先后分亦分明前加后减。其金、火诸曰度，计数增损定之者。其曰少度多，以曰减度之残者，与曰多度少之度，皆度法乘之，曰数而一，所得为分。不満篾，以曰数为⺟。曰少者以分并减之一度，曰多者直为度分，即皆一曰平行分。其差行者，皆减所行曰数一，乃半其益疾、益迟分而乘之，益疾以减、益迟以加一曰平行分，皆初曰所行分。有计曰加减，而曰数不満未得成度者，以气曰法若度法乘，见已所行曰即曰数除之，所得以增损其气曰疾法，为曰及度。其不成者，亦即为篾。其木、火、土，晨有见而夕有伏；金、水即夕见还夕伏，晨见即晨伏。然火之初行及后疾，距冬至曰计曰增损曰度者，皆当先置从冬至曰余数，累加于位上，以知其去冬至远近，乃以初见与后疾初曰去冬至曰数而增损定之，而后依其所直曰度数行之也。